Bag denne Spielberg lignende overskrift gemmer der sig et forslag til, hvordan man kan udnytte internettet og kryptologi som et didaktisk redskab i den gymnasiale matematik-undervisning. Som sidegevinst er forslaget tillige en invitation til faget engelsk om tværfagligt samarbejde.
Internettet sammen med kryptologi kan udnyttes som et didaktisk redskab til at træne matematisk tankegang og opnå en reflekterende attitude til matematikken ledsaget af nysgerrighed, kreativitet samt mulighed for selv at kunne eksperimentere.
Gennem nedenstående forløb vil eleverne kunne tilegne sig konkret matematisk viden samt erfaring i at løse problemer af ikke rutinemæssig karakter. Som vor store matematiker Julius Petersen udtrykte det: "Man skal ikke være matematiker for at beskæftige sig med kryptologi, men hele tankegangen er matematisk".
I faget engelsk kan kriminallitteratur være et overordnet tema med læsning af de gamle mestre: Edgar Allan Poe, Arthur Conan Doyle og Dorothy L. Sayers (se litteraturliste), der alle har været stærkt optaget af kryptologi - eller "secret writing", som det hed dengang.
Der kræves ingen særlige matematiske forudsætninger for at kunne deltage i jagten, så undervisningsforløbet kan anvendes på ethvert niveau indenfor gymnasie- og erhvervskoleuddannelserne. Forløbet kræver imidlertid, hvadenten afviklingen sker i samarbejdet med faget engelsk eller ej, et vist niveau i engelsk.
Først en lang, lang historie gjort meget kort:
Vi skruer tiden tilbage til 1817, hvor Thomas Jefferson Beale og 29 af hans jægerkolleger fandt en meget rig guldåre et eller andet sted i New Mexico. I en 3 års periode samlede de 1/2 ton guld og 2 ton sølv, som de begravede et sted nær Buford, Virginia - alt sammen i dybeste hemmelighed.
Beale nærede stor tillid til værten, Robert Morris, på det hotel, han var indlogeret, og udvalgte ham som den eneste ene, der ville kunne finde skatten, hvis en ulykke skulle overgå gruppen. Morris fik overdraget et forsvarligt låst metalskrin, hvori der lå nøje instruktioner på, hvor skatten var begravet, hvad skatten indeholdt og hvem, der skulle betænkes, når skatten blev opgravet - alt sammen naturligvis skrevet i chiffer. Sammen med skrinet fik Morris besked på ikke at åbne skrinet medmindre han ikke havde hørt fra Beale i 10 år. Nøglen til chifret ville Morris så få sendt fra en person i St. Louis.
Morris så herefter aldrig Beale igen og fik efter 10 år ikke nogen nøgle tilsendt.
Efter 23 års venten tog Morris sig endelig sammen til at åbne skrinet, og fandt ikke
andet end 3 dokumenter med sirligt skrevne tal, som han ikke kunne stille noget op med.
Kort før sin død (1862) gav han skrinet til sin ven James B. Ward. Ward ofrede 20 år af
sit liv på at bryde chifret, og fik da også brudt de sider, der omhandler indholdet af
skatten.
Chifret, Beale havde benyttet, var et såkaldt homofonisk chiffer, dannet ved fortløbende
at nummerere alle ord i USA' uafhængighedserklæring og benytte det første bogstav i
ordene (1 betyder w, 2 betyder i, 3 betyder t, etc.):
When(1) in(2) the(3) course(4) ..........sacred(1321) honor(1322) .
Opildnet af sin succes gav Ward sig til at nummerere alskens tekster i håb at kunne bryde de sider, der omhandler skattens placering. Det lykkedes trods ihærdige anstrengelser ikke, og Ward besluttede i 1885 at offentliggøre sagens akter i det berømte "Beale Paper", hvorefter talløse skattejægere, håbefulde amatør kryptologer og andet godtfolk kastede sig over problemet. Fortsat uden held.
Du skal nu ved hjælp af internettet og skrevne kilder sættes i stand til at deltage i jagten på det forsvundne guld.
(Opgaveløsningen foregår i passende grupper og der udarbejdes en rapport)
For at kunne deltage i jagten på det forsvundne kan du først prøve nogle af internettets søgemaskiner (fx Lycos, Excite og Yaohoo) med "beale cipher" som søgeord. Giver dette ikke resultat, kan du prøve med
(hvor du skal følge et par links) eller
http://alabanza.com/kabacoff/Inter-Links/fun/puzzles/cryptology
der indeholder de chiffrerede dokumenter og oversættelsen af det dokument, der fortæller om indholdet af skatten. Vil du have fat Wards "Beale Paper", kan du bl.a. downloade det fra
Tidligere var web-siten www.rev.net/~brent/ et must, men fungerer ikke for øjeblikket. Her kunne man finde hele historien bag Beale chifret, Wards "Beale Paper" fra 1885 og en del andre dokumenter - ja sogar Beale software, der kan lette analyse arbejdet.
Det anbefales at downloade bl.a. "The Beale Paper" og et par andre dokumenter til nærmere studier. Læs "The Beale paper" og notér dig de kryptografiske principper, der benyttes.
Hvad er et homofonisk chiffer? Hvorfor er homofoniske chifre i det hele taget konstruerede?
Her får du brug for en del baggrundsviden om kryptologi og de klassiske principper for konstruktion af chifre. En hurtig introduktion kan du finde i artiklerne [1] og [2]. En grundigere gennemgang kan findes i [3] og [4].
For at få mere detaljeret viden skal du ud på nettet. Her får du et par adresser - du kan få mange flere, hvis du laver en søgning med søgeord som fx "ciphers" eller "caesar cipher" - så du kan være sikker på, at det, du får fat i, er om klassisk kryptologi. Forsøger du med "Cryptology" som søgeord, får du en forfærdelig masse muligheder, der næsten alle handler om moderne kryptologi. Der er så megen information at hente om emnet, at du er nødt til at være meget selektiv i dit valg - bookmark de bedste, så du kan finde dem igen!
Som lovet, et par adresser på steder, som værd at gæste:
http://www.ftech.net/~monark/crypto/main.hts
http://www.trincoll.edu/~cpsc/cryptography/index.html
http://www.cs.nps.navy.mil/curricula/tracks/security/notes/cs4601.notes.contents.html
Lav en kort oversigt over de principper, der har været benyttet til konstruktion af chifre før Vigenère chifrets fremkomst.
Charles Babbage - find ved søgning på internettet ud af, hvem han var og hvad han er berømt for - lavede en række udklip fra "The Agony Columns", som kan findes i hans arkiver på British Museum.
Fx kunne man i The Times d. 13 maj 1859 læse følgende meddelelse skrevet i chiffer:
ROBERT - Zkb gr brx frw frph ru zulvh iru ph?
Vxfk julhi dqg dgalhub! - Rk! Oryh Oryh.
der åbenbart er en fortrolig besked til Robert fra en bekendt, med hvem han i forvejen har aftalt det chiffer, der benyttes. Her er anvendt et meget primitivt chiffer, der faktisk er det samme, som det, Julius Cæsar benyttede ca. 50 år f. Kr.
Dechiffrér meddelelsen - Der er to fejl i meddelelsen, som måske skal tilskrives den tilstand, afsenderen har befundet sig i.
Alle nedenstående eksempler er udklip fra The Times samlet i perioden 1845 - 1861 af Charles Babbage. I hvert af eksemplerne skal systemet brydes og klassificeres efter steganografisk eller kryptografisk metode og, hvis metoden er kryptografisk, efter hvilken teknik, der er benyttet. Husk, at alle tekster er på engelsk - den sidste, som i øvrigt også indeholder fejl - er meget svær.
I hvert eksempler er én af følgende teknikker benyttet:
Carnage. - JP and JL ti Thetr Oupea Tmi L tonh Ill. - H.Y.T., or send further applications respecting the A. of H. to the D. of P.
Smude. - Sah nettirw eciwt. Syats ta sih eciffo rof eht tneserp - June 19.
J. M. M. has RECEIVED IT. Wndr, wpng, nd wrshp fllw.
A. B. Z. si yltsenrae detsequer ot etacinummoc touhtiw yaled ma ni yrev taerg elbourt. Dna eriquer etaidemmi ecivda - 53, Reppu Ruomyes Teerts, Namtrop Erauqs.
Q. L. B. - Gszmph - ivxvrevw hzuvob - zoo szh yvvm yfimg omt ztl rm zmhdvi gl gsv gdl jfvhgrlmh.
L'ABBANDONATA.- Bmfybo esb Spdigpsu sfqpsufe efbe. J tbx zpv zftufsebz npbuf wbjomz tfbsdife ufo xfbst.
Mea Culpa! Mea Culpa! WRITE.- G.G.T. H. E. O. - Bit ai czyq oysr gfivi mlyster, n - Uitf, a, dyziu.
Side om side med disse udklip af krypterede meddelelser findes i Babbages arkiver én i klartekst, der fortjener et par ord med på vejen:
TO "A" - I fear our Cypher is detected and known. Do NOT WRITE again at present I will endeavour to send a fresh one. - W. M. "Le beau temps viendra"
Historien bag dette advertissement er, at Charles Babbage og Charles Wheatstone (1802 - 1875) muntrede sig med at dechifrere de hemmelige meddelelser, der var i datidens aviser. I en af disse opfordrede en Oxford student en ung lady i London til at begå ægteskabsbrud. Wheatstone brød deres chiffer og indrykkede en meddelelse i samme chiffer, hvor han advarede hende om konsekvenserne. Mere om dette kan findes i [5].
I vore dage finder vi også krypterede meddelelser i aviserne: På forsiden af Aarhus Stiftstidende d. 16 august 1996 var indrykket følgende annonce (selvfølgelig kun for at få læserne til at stoppe op og kigge lidt):
NESUOKS ÅP JEVGROBIV ÅP NENAB NEGI
DEM TE SÆL EGILLIB RERAVEDIVH
Brug af usynligt blæk er ikke nogen kryptografisk metode, men derimod en
steganografisk metode.
Definition af begrebet steganografi og en beskrivelse af flere steganografiske metoder kan
findes på adressen
og meget mere kan findes ved at søge på ordet "Steganography".
Steganografi - specielt den såkaldte 1-bit steganografi, der benyttes til at gemme meddelelser i digitaliserede billeder - er blevet meget populært de senere år. Populariteten hænger sammen med den krypto-politik, der er indført i Frankrig og som flere EU lande (bl.a. Danmark) agter at indføre.
Find ud af, hvad den franske kryptopolitik går ud på, og hvordan loven kan omgås ved at benytte steganografi i stedet.
[1] Knud Nissen: Kryptologi - Læren om hemmelig skrift I+II
(VERITAS nr. 1 og 2, 1994). [også tilgængeligt her: artikel
I - artikel II ]
[2] Peter Landrock: Kryptologi - Læren om kodeskrift
(Naurens Verden nr. 9, 1988)
[3] Peter Landrock & Knud Nissen: Kryptologi (ABACUS, 1991)
[4] Albrecht Beutelspacher: Cryptology
(The Mathematical Association of America, 1994)
[5] David Kahn: The Codebreakers
(Tex Sphere Books, Weidenfield & Nicholson, 1973)
(Novelle fra samlingen "The Return of Sherlock Holmes - heri bryder Holmes et monoalfabetisk chiffer)
(Heri beskrive Poe nogle af de opdagelser han har gjort i sine kryptografiske studier. Et meget berømt citat, som eftertiden har døbt Poe's Dictum, stammer herfra: It may be roundly asserted that human ingenuity cannot concoct a cipher which human ingenuity cannot resolve.
(Om en besked skrevet i et monoalfabetisk chiffer, der brydes og viser vej til guld og juveler).
(Heri bryder Lord Peter Wimsey det berømte Playfair cipher, som er opfundet af Charles Wheatstone).